Das Echo aus dem Brunnen

[CarlosCM]

Pilot_001 hat auf jeden Fall eine richtige Antwort gepostet.

Ich werde sie hier nicht ausführen, ich habs versucht und kam entweder auf unsinniges oder wusste nicht weiter. Wer Lust hat alles auszuschreiben darf es gerne.

Es gibt aber einen anderen, leichteren Weg, wo zuerst die Zeiten beider Vorgänge bestimmt wird. Ich lasse den Thread bis Sonntag offen, sollte jemand Lust haben den Weg zu folgen.

[CarlosCM]

Endich, die andere mögliche Antwort:


Gegeben:
Erdbeschleunigung: g = 9,81 m/s²
Schallgeschwindigkeit: c = 344 m/s (Luft bei 20°C)
c/g = 35,066 s

Alternative im Winter Aufschlagen auf die Eisschicht)
c = 332 m/s (Luft bei 0°C)
C/g = 33,843 s


Weg = s
Weg des Steines s1 = Weg des Schalls s2= s

Gesamtzeit = t
Fallzeit = t1
Schallzeit = t2
t = 3,7 s
t = t2 + t1
t2 = t - t1

( I ) Fall: s = g/2 * t1²
( II )Schall: s = c * t² = c * (t - t1)


Gleichungen (I) und (II) gleichsetzen, ausklammern u. umstellen
g/2 * t1² = c* t - c* t1
g/2 * t1² - c* t + c* t1 = 0

Normalform einer quadratischen Gleichung:
t1² + 2 c/g * t1 - 2 c/g * t = 0

t1 = - c/g + sqr( (c/g)² + 2* c/g * t )
(2. Lösung entfällt, da die Zeit nicht negativ sein darf)

für eine Temperatur von 20°C gilt:
t1 = - 35,066 s + sqr ( (35,066 s)2 + 2 * 35,066 s * 3,7 s )

t1 = 3,523 s
t2 = 0,177 s


s1 = g/2 * t1²
s1 = 9,81 m/s² * (3,523s)²
s1 = 60,87 m

s2 = c * t2
s2 = 344 m/s * 0,177s
s2 = 60,88m

s = s1 = s2 = 60,9 m

Alternative:
für 0° laufen die Berechnungen analog:

t1 = 3,5172 s
t2 = 0,1828 s


s1 = g/2 * t1²
s1 = 9,81 m/s² * (3,5172s)²
s1 = 60,68 m

s2 = c * t2
s2 = 332 m/s * 0,1828s
s2 = 60,69 m

s = s1 = s2 = 60,7 m
Damit sind die beiden Extrema, warmer bzw. kalter Tag, abgedeckt und alle Lösungen sollten sich in diesem Bereich bewegen.

Der Brunnen hat demnach eine Tiefe von etwas weniger als 61 m.